Filosofis Umum dan Khusus Pemodelan Matematika

Filosofis Umum dan Khusus  Pemodelan Matematika

Muhamad Ikhsan Sahal Guntur
ikhsan.guntur@gmail.com

https://powermathematics.blogspot.com/

https://uny.academia.edu/MarsigitHrd

Abstrak

Secara garis besar, dalam tulisan ini dibahas tentang filosofis umum dan khusus  pemodelan matematika.  filosofis umum menggambarkan ontology dan epistemology matematika model. Filosofis matematika menggambarkan perjalanan konsep matematika dari konsep kalkulus/limit leibnis, kemudian matematika formal hilbert, theorema godel, bilangan godel, tarski, alan turing, matematika non standard, teori kategori, transformasi. Tulisan dimulai dengan menjelaskan ontologi dan epistemologi dari matematika Model, kemudian dilanjutkan dengan konsep matematika mulai dari konsep kalkulus/limit leibnis, kemudian apa yang dimaksud matematika formal menurut hilbert, dilanjutkan theorema godel berserta bilangan godelnya, dan terakhir penulis membahas tentang tarski, kontribusi alan turing dalam dunia amtematika komputer, matematika non standard, teori kategori serta  transformasi geometri.

Kata kunci:  epistemology, ontology, matemtika model, Matematika Formal Hilbert, Theorema Godel, Bilangan Godel, Tarski, Alan Turing, Matematika Non Standard, Teori Kategori, Transformasi

A. Filosofis Umum

1.    Pengertian Ontologi

Filsafat sebagi suatu disiplin ilmu telah melahirkan tiga cabang kajian. Ketiga cabang kajian itu ialah teori hakikat (ontologi), teori pengetahuan (epistimologi), dan teori nilai (aksiologi). (Cecep, 2006:47).

Kata ontologi berasal dari bahasa Yunani, yaitu On=being, dan Logos=logic. Jadi, ontologi adalah The Theory of Being Qua Being (teori tentang keberadaan sebagai keberadaan) (Amsal Bakhtiar, 2007:132). Sedangkan Suriasamantri mengatakan bahwa ontologi membahas apa yang ingin kita ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, atau dengan perkataan lain suatu pengkajian mengenai yang “ada”. (Suriasumantri, 1985:5)

Jadi dapat disimpulkan bahwa:

·         Menurut bahasa, ontologi berasal dari Bahasa Yunani, yaitu On/Ontos=ada, dan Logos=ilmu. Ontologi adalah ilmu tentang hakikat yang ada.

·         Menurut istilah, ontologi adalah ilmu yang membahas tentang hakikat yang ada, yang merupakan Kenyataan yang asas, baik yang berbentuk jasmani / konkret, maupun rohani / abstrak.

2.      Tahapan Ontologi

Ontologi membahas keberadaan sesuatu yang bersifat konkrit memiliki beberapa tahapan. Seperti yang dikutip dari Suriasumantri tahapan ontologi (Hakikat Ilmu) adalah sebagai berikut.

·         Obyek apa yang telah ditelaah ilmu?

·         Bagaimana wujud yang hakiki dari obyek tersebut?

·         Bagaimana hubungan antara obyek tadi dengan daya tangkap manusia (seperti berpikir, merasa, dan mengindera) yang membuahkan pengetahuan?

·         Bagaimana proses yang memungkinkan ditimbanya pengetahuan yang berupa ilmu?

·         Bagaimana prosedurnya?

3.      Ontologi  Matematika

Menurut Marsigit (2015: 95), Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dan kenyataan matematika, yaitu segala matematika yang mengada. Dalam kaitanya dengan matematika pendekatan ontologis matematika adalah dengan mencari pengertian menurut akar dan dasar terdalam dari kenyataan matematika. Pendekatan ontologis digunakan untuk menerima kenyataan dalam matematika. Pendekatan ini berusaha untuk mengkaji bagaimana mencari inti dari setiap kenyataan yang ditemukan terkait matematika, membahas apa yang ingin kita ketahui tentang matematika, seberapa jauh kita ingin tahu, serta menyelediki sifat dasar apa yang ada secara fundamental.

4.      Aspek Ontologi Matematika

Aspek ontologi pada ilmu matematika akan diuraikan sebagai berikut :

a.       Metodis : matematika merupakan ilmu ilmiah (bukan fiktif)

b.      Sistematis : ilmu matematika adalah ilmu telaah pola dan hubungan artinya kajian-kajian ilmu matematika saling berkaitan antara satu sama lain

c.       Koheren : konsep, perumusan, definisi dan teorema dalam matematika saling bertautan dan tidak bertentangan

d.      Rasional : ilmu matematika sesuai dengan kaidah berpikir yang benar dan logis

e.       Komprehensif : objek dalam matematika dapat dilihat secara multidimensional (dari barbagai sudaut pandang)

f.        Radikal : dasar ilmu matematika adalah aksioma-aksioma

g.      Universal : ilmu matematika kebenarannya berlaku secara umum dan di mana saja. (Ani, 2011)

5.      Aliran Ontologi Matematika

Menurut Sumardyono dalam Abdul Halim Fathani (2008:53) Beberapa aliran pandangan mengenai objek matematika sebagai berikut:

A.    Formalisme

Aliran formalisme dipelopori oleh ahli matematik besar dari jerman David Hilbert. Menurut aliran ini sifat alami dari matematik ialah sebagai sistem lambang yang formal. Matematik bersangkut paut dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Smbol-simbol dianggap sebagai sasaran yang menjadi objek matematik. Bilangan- bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak yag dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukan bentuknya saja. Aliran formalism berusaha menyelidiki struktur dari berbagai system. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung aliran tersebut merumuskan matematik ilmu tentang sistem-sistem formal.

B.     Intuisionisme

Menurut Ernest (1995), aliran intusionisme mengakui aktivitas matematika manusia sebagai dasar dalam penyusunan bukti atau objek-objek matematika, teori baru, dan juga mengakui bahwa aksioma intuisi dari teori matematika secara mendasar tidaklah lengkap, dan perlu ditambahkan sebagai kebenaran matematika yang lain baik secara intuisi maupun secara informal.

C.     Logisme

Aliran logisisme dipelopori oleh Bertrand Arthur William Russell dari Inggris. Dalam 1903 terbitlah buku beliau yang berjudul “The Principles of Mathematics” yang berpegang pada pendapat bahwa matematik muri semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prisip-prinsip logika dari prisip-prinsip logika. Menurutnya logika telah mejadi lebih bersifat matematis dan matematik sehingga lebih logis. Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis diantara keduanya. Sesungguhnya kedua hal itu adalah satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa. Logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika.

6.      Ontologi Pemodelan Matematika

Ontologi membahas tentang yang ada secara universal, yaitu berusaha mencari inti yang dimuat setiap kenyataan yang meliputi segala realitas dalam semua bentuknya (Bahrum, 2013).

Pemodelan Matematika (Mathematical Modeling) Model adalah representasi penyederhanaan dari sebuah realita yang complex (biasanya bertujuan untuk memahami realita tersebut) dan mempunyai feature yang sama dengan tiruannya dalam melakukan task atau menyelesaikan permasalahan. Model adalah karakteristik umum yang mewakili sekelompok bentuk yang ada, atau representasi suatu masalah dalam bentuk yang lebih sederhana dan mudah dikerjakan. Dalam matematika, teori model adalah ilmu yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori model diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganalisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi, atau aksioma-aksioma yang melekat pada masingmasing obyek atau pada obyek-obyek tersebut.

 Indenpensi dua hukum matematis yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice, dan contnuum hypothesis dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh Paul Cohen dan Kurt Godel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari teori model. Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan aksioma-aksioma Zermelo Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama juga dipenuhi oleh contnuum hypothesis. Model matematika yang

diperoleh dari suatu masalah matematika 5 yang diberikan, selanjutnya diselesaikan dengan aturan-aturan yang ada. Penyelesaian yang diperoleh, perlu diuji untuk mengetahui apakah penyelesaian tersebut valid atau tidak. Hasil yang valid akan menjawab secara tepat model matematikanya dan disebut solusi matematika. Jika penyelesaian tidak valid atau tidak memenuhi model matematika maka solusi masalah belum ditemukan, dan perlu dilakukan pemecahan ulang atas model matematikanya (Bell, 1978).

7.      Epistemologi

Terjadi perdebatan filosofis yang sengit di sekitar pengetahuan manusia, yang menduduki pusat permasalahan di dalam filsafat, terutama filsafat modern. Pengetahuan manusia adalah titik tolak kemajuan filsafat, untuk membina filsafat yang kukuh tentang semesta (universe) dan dunia. Maka sumber-sumber pemikiran manusia, kriteria-kriteria, dan nilai-nilainya tidak ditetapkan, tidaklah mungkin melakukan studi apa pun, bagaimanapun bentuknya. Salah satu perdebatan besar itu adalah diskusi yang mempersoalkan sumbersumber dan asal-usul pengetahuan dengan meneliti, mempelajari dan mencoba mengungkapkan prinsip-prinsip primer kekuatan struktur pikiran yang dianugerahkan kepada manusia (jallaludin :1998).

Maka dengan demikian ia dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini: Bagaimana pengetahuan itu muncul dalam diri manusia? Bagaimana kehidupan intelektualnya tercipta, termasuk setiap pemikiran dan kinsep-konsep (nations) yang muncul sejak dini ? dan apa sumber yang
memberikan kepada manusia arus pemikiran dan pengetahuan ini ?
Sebelum menjawab semua pertanyaan-petanyaan di atas, maka kita harus tahu bahwa pengetahuan (persepsi) itu terbagi, secara garis besar, menjadi dua. Pertama, konsepsi atau pengetahuan sederhana. Kedua tashdiq (assent atau pembenaran), yaitu pengetahuan yang mengandung suatu penilaian. Konsepsi dapat dicontohkan dengan penangkapan kita terhadap pengertian panas, cahaya atau suara.

Tashdiq dapat dicontohkan dengan penilaian bahwa panas adalah energi yang datang dari matahari dan bahwa matahari lebih bercahaya daripada bulan dan bahwa atom itu dapat meledak. Jadi antar konsepsi dan tashdiq sangat erat kaitannya, karena konsepsi merupakan penangkapan suatu objek tanpa menilai objek itu, sedangkan tashdiq, adalah memberikan pembenaran terhadap objek. Pengetahuan yang telah didapatkan dari aspek ontologi selanjutnya digiring ke aspek epistemologi untuk diuji kebenarannya dalam kegiatan ilmiah..

Menurut Ritchie Calder proses kegiatan ilmiah dimulai ketika manusia mengamati sesuatu (Muhamad:1999). Dengan demikian dapat dipahami bahwa adanya kontak manusia dengan dunia empiris menjadikannya ia berpikir tentang kenyataan-kenyataan alam. Setiap jenis pengetahuan mempunyai ciri yang spesifik mengenai apa, bagaimana dan untuk apa, yang tersusun secara rapi dalam ontologi, epistemologi, dan aksiologi. Epistemologi itu sendiri selalu dikaitkan dengan ontologi dan aksiologi ilmu. Persoalan utama yang dihadapi oleh setiap epistemologi pengetahuan pada dasarnya adalah bagaimana cara mendapatkan pengetahuan yang benar dengan mempertimbangkan aspek ontologi dan aksiologi masing-masing ilmu.

   

8.      Epistemologi Pemodelan Matematika

Epistemologi berasal dari kata episteme yang berarti pengetahuan dan logos yang berarti ilmu. Sehingga Epistemologi dapat diartikan sebagai ilmu yang membahas tentang pengetahuan dan cara memperolehnya. Langkah-langkah atau Tahapan Pemodelan Matematika pemodelan matematika

1.             Mengenali dan menamai variable bebas dan tak bebas serta membuat asumsi-asumsi seperlunya untuk menyederhanakan fenomena sehingga membuatnya dapat ditelusuri secara matematika.

2.             Menerapkan teori matematika yang telah diketahui pada model matematika yang telah dirumuskan guna mendapatkan kesimpulan matematikanya.

3.             Mengambil kesimpulan matematika tersebut dan menafsirkannya sebagai informasi yang berkaitan dengan permasalahan yang dimodelkan dengan cara memberikan penjelasan atau membuat perkiraan.

4.             Menguji perkiraan terhadap data riil. Jika perkiraan yang kita buat tidak sebading dengan kenyataan, maka model yang didapat perlu diperhalus atau merumuskan model baru dan memulai daur kembali. Bisa juga dengan memperbaiki asumsi-asumsi yang diberikan.

9.      Aksiologi

Aksiologi adalah kajian tentang nilai ilmu pengetahuan. Landasan dalam tataran aksiologi adalah untuk apa pengetahuan itu digunakan. Jadi yang ingin dicapai oleh aksiologi adalah hakikat dan manfaat yang terdapat dalam suatu pengetahuan. Berdasarkan Lecture Note An Introduction to Mathematical Modeling oleh (Marion & Lawson, 2008), memberikan beberapa contoh manfaat dari matematika model, diantaranya adalah sebagai berikut.

1.             Karena matematika adalah bahasa yang sangat presisi, hal ini dapat memudahkan kita dalam merumuskan ide-ide dan mengidentifikasi asumsi-asumsi yang mendasari fenomena tersebut.

2.             Karena matematika bahasa yang ringkas, dengan aturan-aturan yang terdefinisi dengan baik untuk melakukan manipulasi.

3.             Semua hasil yang diperoleh matematikawan yang teruji ratusan tahun dapat digunakan.

4.             Komputer dapat melakukan melakukan kalkulasi numerik.

B.  Filosofis Matematika

Pada awal perkembangannya, matematika merupakan kajian sistematis tentang bentuk (shape) dan gerakan objek fisis dalam kehidupan sehari-hari (berhubungan erat terutama dengan fisika). Kajian dilakukan dengan mengeksplorasi konsep-konsep kuantitas, struktur, ruang, dan perubahan, yang tentu saja berdasarkan penggunaan logika penalaran manusia (Gambar 1).

Eksplorasi yang dilakukan berlandaskan : (i) Abstraksi dan simbolisasi, (ii) Penetapan aksioma, definisi (iii) Formulasi konjektur
(‘dugaan’), (iv) Deduksi secara taat azas (‘rigorous’) berdasarkan penalaran untuk menyatakan kebenaran dugaan, serta (v) membangun teorema.
Kajian dengan tujuan mengembangan pengetahuan matematika secara internal
(pengembangan konjektur, teorema, pendekatan altenatif) sering dikategorikan sebagai kajian matematika murni (pure mathematics). Sedangkan kajian dalam arah eksternal yang melibatkan bidang pengetahuan (atau keilmuan lain) dikategorikan sebagai kajian matematika terapan (applied mathematics). Pengembangan ekternal ini meliputi kajian model matematis, metode matematis (dibangun berdasarkan teorema-teorema) yang sesuai, serta metode komputasinya .

 Filosofis matematika menggambarkan perjalanan Konsep Matematika dari Konsep Kalkulus/limit Leibnis, kemudian Matematika Formal Hilbert, Theorema Godel, Bilangan Godel, Tarski, Alan Turing, Matematika Non Standard, Teori Kategori, Transformasi.

1.        Kalkulus Leibnis

Dalam kalkulus, ada istilah Notasi Leibniz. Dinamakan Notasi Leibniz untuk menghormati filsuf dan matematikawan dari Jerman abad ke-17 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan “kecil tak hingga” atau “infinitesimal” dari x dan y. Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaian dengan analisis dimensi. Sebagai contoh dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah d2y/dx2= f”(x) dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan y/x2 (Triedi, 2015).

Kebanyakan ahli sejarah percaya bahwa Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus secara terpisah. Keduanya pula menggunakan notasi matematika yang berbeda pula. Menurut teman-teman dekat Newton, Newton telah menyelesaikan karyanya bertahun-tahun sebelum Leibniz, namun tidak mempublikasikannya sampai dengan tahun 1693. Ia pula baru menjelaskannya secara penuh pada tahun 1704, manakala pada tahun 1684, Leibniz sudah mulai mempublikasikan penjelasan penuh atas karyanya. Notasi dan "metode diferensial" Leibniz secara universal diadopsi di Daratan Eropa, sedangkan Kerajaan Britania baru mengadopsinya setelah tahun 1820.

Dalam buku catatan Leibniz, dapat ditemukan adanya gagasan-gagasan sistematis yang memperlihatkan bagaimana Leibniz mengembangkan kalkulusnya dari awal sampai akhir, manakala pada catatan Newton hanya dapat ditemukan hasil akhirnya saja. Newton mengklaim bahwa ia enggan mempublikasi kalkulusnya karena takut ditertawakan. Newton juga memiliki hubungan dekat dengan matematikawan Swiss Nicolas Fatio de Duillier. Pada tahun 1691, Duillie merencanakan untuk mempersiapaan versi baru buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton, namun tidak pernah menyelesaikannya. Pada tahun 1693 pula hubungan antara keduanya menjadi tidak sedekat sebelumnya. Pada saat yang sama, Duillier saling bertukar surat dengan Leibniz.

Pada tahun 1699, anggota-anggota Royal Society mulai menuduh Leibniz menjiplak karya Newton. Perselisihan ini memuncak pada tahun 1711. Royal Society kemudian dalam suatu kajian memutuskan bahwa Newtonlah penemu sebenarnya dan mencap Leibniz sebagai penjiplak. Kajian ini kemudian diragukan karena setelahnya ditemukan bahwa Newton sendiri yang menulis kata akhir kesimpulan laporan kajian ini. Sejak itulah bermulainya perselisihan sengit antara Newton dengan Leibniz. Perselisihan ini berakhir sepeninggal Leibniz pada tahun 1716.

Walaupun konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier (Simmons, 2007). Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak.

Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut (Simmons, 2007).

2.        Matematika Formal Hilbert

Formal merupakan suatu metode dalam menyusun penalaran yang logis, konsisten, terstruktur, koheren, analitik dan ideal. Dalam hal ini logika merupakan hal yang fundamental dalam memahami metode formal. Logika (Beth, 1962) merupakan teori deduktif inferensial yang berkaitan erat dengan konsep himpunan, premis dan modus Ponens. Dalam membangun konstruksi logika, perlu ditetapkan (F) formula-formula (U, V, W, ...) yang merupakan terdiri dari atom-atom (A, B, C, ...) pada suatu himpunan (K). Dengan ketetapan inilah, melalui penerapan modus Ponens, metode Formal dikembangkan hingga diperoleh kesimpulan (Z).

Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru (Marsigit, 2004).

David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang diberikan bisa benar atau salah. Dalam bukunya Grundlagen der Geometrίe (1899), Hilbert (Marsigit, 2010) mempertajam metode matematika dari materi aksiomatik Euclid kepada aksiomatik formal seperti saat ini.

Metode ini dikembangkan Hilbert sebagai respon terhadap kritik intuisionis terhadap paradoks teori himpunan. Tesis formalis adalah bahwa Matematika menitikberatkan kepada sistem formal simbolik. Hingga pada akhirnya Matematika menjadi sekumpulan pengembangan yang abstrak dimana istilah-istilahnya hanyalah simbol dan pernyataan yang melibatkan simbol saja. Landasan utama dari Matematika tidak lagi terletak pada logika namun pada sekumpulan nilai pralogika atau simbol dan sekumpulan operasi yang melibatkan simbol-simbol tersebut. Dalam sistem formal, segalanya mengalami reduksi menjadi aturan dan forma (Marsigit, 2010). Matematika mengalami pergeseran dari konten konkrit kepada konten yang hanya memuat unsur-unsur simbolik ideal. Penyusunan konsistensi dari beragam cabang Matematika menjadi penting dalam Matematika formal. Karena tanpa pembuktian yang konsisten, seluruh Matematiak formal menjadi tidak dapat dijangkau (Marsigit, 2010)

David Hilbert (dalam Marsigit, 2012) merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal.

Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang diberikan bisa benar atau salah. Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika.

Di sisi lain, Hilbert (Marsigit, 2012) menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi landasan matematika yang kokoh.

Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.

Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika. Di sisi lain, ia menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa.

Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi landasan matematika yang kokoh.

Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut                 .

3.        Theorema Godel

penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten (Marsigit, 2004).

Kurt Godel (1906-1978) membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk setiap sistem logika yang terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah matematika yang hebat yang bekerja pada setiap hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa sistem matematika konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem. Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada. 2 teorema tidak lengkap Godel.

i)       Teorema tidak lengkap yang pertama

Jika suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan S konsisten maka terdapat kalimat aritmatika A yang bernilai benar tapi tidak dapat dibuktikan di S.

ii)     Teorema tidak lengkap yang ke dua

Jika suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan S konsisten maka kekonsistenan S tidak terbukti di A.

Banyak orang yang salah paham yang beranggapan bahwa ke-dua teorema Godel berlaku ke semua sistem Formal di Matematika, itu tidak tepat, teorema Godel hanya berlaku kepada sistem formal yang memuat bahasa aritmatika dan bisa juga berlaku ke sistem formal yang objek bisa direpresentasikan sebagai bilangan asli. Jika suatu kalimat   tidak terbukti di sistem formal  belum tentu  tidak dapat dibuktikan sama-sekali bisa jadi  bisa di buktikan olah sistem formal yang lain. Sebagai contoh teorema terakhir Fermat yang merupakan masalah aritmatis yang tidak bisa dibuktikan di secara aritmatis tapi dapat di buktikan dengan sistem formal yang jauh berbeda dari Aritmatis.

Godel, K., 1961, menyatakan bahwa matematika, berdasarkan sifatnya sebagai sebuah ilmu apriori, selalu telah, dalam dan dari dirinya sendiri dan, untuk alasan ini, telah lama bertahan semangat dari waktu yang telah memerintah sejak yaitu Renaissance, teori empiris matematika; matematika telah berkembang menjadi abstraksi yang lebih tinggi, jauh dari kejelasan materi dan untuk semakin besar di fondasinya misalnya, dengan memberikan landasan yang tepat dari kalkulus dan bilangan kompleks, dan dengan demikian, jauh dari sikap skeptis. Namun, sekitar pergantian abad, jam nya disambar antinomi teori himpunan, kontradiksi yang diduga muncul dalam matematika, yang penting itu dibesar-besarkan oleh scepticist dan empirisis dan yang dipekerjakan sebagai alasan untuk pergolakan ke kiri.

Godel menyatakan bahwa, himpunanelah semua, apa kepentingan matematika adalah apa yang dapat dilakukan, dalam kebenaran, matematika menjadi ilmu empiris, jika kita membuktikan dari aksioma sewenang-wenang mendalilkan bahwa himpunaniap bilangan asli adalah jumlah dari empat kotak, tidak di semua mengikuti dengan pasti bahwa kita tidak akan pernah menemukan counter-contoh untuk teorema ini, karena aksioma kami bisa himpunanlah semua menjadi tidak konsisten, dan kita dapat mengatakan bahwa itu berikut dengan probabilitas tertentu, karena meskipun pemotongan banyak kontradiksi sejauh ini ditemukan.

Menurut Godel, melalui konsepsi hipotetis matematika, banyak pertanyaan yang kehilangan bentuk apakah proposisi A terus atau tidak atau A atau ~ A. Godel, K., 1961, berpendapat bahwa formalisme Hilbert mewakili baik dengan semangat waktu dan hakekat matematika di mana, di satu sisi, sesuai dengan ide-ide yang berlaku dalam filsafat dewasa ini, kebenaran dari aksioma dari mana matematika mulai keluar tidak dapat dibenarkan atau diakui dengan cara apapun, dan karena itu gambar konsekuensi dari mereka memiliki makna hanya dalam pengertian hipotesis, dimana ini gambar dari konsekuensi itu sendiri ditafsirkan sebagai permainan belaka dengan simbol menurut aturan tertentu, juga tidak didukung oleh wawasan.

Lebih lanjut, Godel mengklaim bahwa bukti atas kebenaran suatu proposisi sebagai representability dari himpunaniap nomor sebagai jumlah dari empat kotak harus memberikan landasan yang aman untuk proposisi bahwa bahwa himpunan ya-atau-tidak tepat dirumuskan pertanyaan dalam matematika harus memiliki jelas -memotong jawaban yaitu satu bertujuan untuk membuktikan bahwa dari dua kalimat A dan ~ A, tepat satu selalu dapat diturunkan. Godel mengklaim bahwa tidak keduanya dapat diturunkan merupakan konsistensi, dan yang satu selalu bisa benar-benar diturunkan berarti bahwa pertanyaan matematika diungkapkan oleh A dapat tegas menjawab. Godel menyarankan bahwa jika seseorang ingin membenarkan dua pernyataan dengan kepastian matematika, bagian tertentu dari matematika harus diakui sebagai benar dalam arti filosofi kanan tua

4.    Apa Maksud dari Teorema Godel

Teorema Godel mengatakan bahwa mustahil kita mengkontruksikan sistem formal aritmatika dan sistem formal yang memuat aritmatika yang lengkap. Teorema ini juga menunjukan bawha bisa saja twin prime, konjekture Goldbach, konjekture Collatz, hipotesiss Riemann yang diyakini kebenarannya tidak akan pernah bias terbuktikan. Bahwa Matematika itu terbatas, bahwa mustahil membuat system matematika yang benar-benar sempurna yang bisa menjawab semua masalah didalamnya, Teorema ini menunjukan bahwa ada sesuatu yang diyakini benar tapi tidak bisa  atau tepatnya belum bisa dijelaskan oleh logika. Teorema inilah yang membuat Sthephen Hawking berpikiran mustahil untuk membuat Teori Segala (Theory of Everything) teori tunggal yang menjelasakan alam semesta ,Secara Filsafat teorema ini menunjukan bahwa akal manusia itu terbatas (Satria, 2009).

5.        Bilangan Godel

Dalam logika matematika, penomoran Gödel adalah fungsi yang memberikan setiap simbol dan formula yang terbentuk dengan baik dari beberapa bahasa formal sebagai bilangan alami yang unik, yang disebut bilangan Gödel. Konsep ini digunakan oleh Kurt Gödel untuk membuktikan teorema ketidaklengkapannya. (Kurt, 1931). Penomoran Gödel dapat diinterpretasikan sebagai pengkodean di mana angka ditugaskan untuk setiap simbol notasi matematika, setelah itu urutan bilangan alami kemudian dapat mewakili urutan simbol. Urutan bilangan alami ini sekali lagi dapat diwakili oleh bilangan alami tunggal, memfasilitasi manipulasi mereka dalam teori formal aritmatika.. Sejak penerbitan makalah Gödel pada tahun 1931, istilah "penomoran Gödel" atau "kode Gödel" telah digunakan untuk merujuk pada penugasan yang lebih umum dari bilangan asli ke objek matematika.           

Gödel mencatat bahwa pernyataan dalam suatu sistem dapat diwakili oleh bilangan asli. Arti penting dari hal ini adalah bahwa properti pernyataan - seperti kebenaran dan kepalsuannya - akan sama dengan menentukan apakah angka Gödel mereka memiliki sifat tertentu. Jumlah yang terlibat mungkin memang sangat panjang (dalam hal jumlah digit), tetapi ini bukan penghalang; yang penting adalah kita bisa menunjukkan angka-angka seperti itu dapat dibangun.

Dalam istilah sederhana, Godel merancang metode di mana setiap rumus atau pernyataan yang dapat diformulasikan dalam sistem kami mendapatkan angka unik, sedemikian rupa sehingga kami dapat secara mekanis mengonversi bolak-balik antara rumus dan angka Gödel. Jelas ada banyak cara yang bisa dilakukan. Diberikan pernyataan apa pun, nomor yang dikonversi menjadi dikenal sebagai nomor Gödel-nya. Contoh sederhana adalah cara di mana bahasa Inggris disimpan sebagai urutan angka di komputer menggunakan ASCII atau Unicode:

(a)   Kata HELLO diwakili oleh 72-69-76-76-79 menggunakan desimal ASCII.

(b)   Pernyataan logis x = y => y = x diwakili oleh 120-61-121-32-61-62-32-121-61-120 menggunakan desimal ASCII.

Gödel menggunakan sistem berdasarkan faktorisasi prima. Dia pertama kali memberikan bilangan alami unik untuk setiap simbol dasar dalam bahasa formal aritmatika yang dengannya dia berurusan. Untuk menyandikan seluruh rumus, yang merupakan urutan simbol, Gödel menggunakan sistem berikut. Diberikan urutan () dari bilangan bulat positif, Pengkodean Gödel dari urutan adalah produk dari n primer pertama yang dinaikkan ke nilai yang sesuai dalam urutan:

Menurut teorema dasar aritmatika, bilangan apa pun (dan, khususnya, bilangan yang diperoleh dengan cara ini) dapat secara unik difaktorkan ke dalam faktor prima, sehingga dimungkinkan untuk memulihkan urutan asli dari bilangan Gödelnya (untuk bilangan apa pun yang diberikan simbol yang akan dikodekan). Gödel secara khusus menggunakan skema ini pada dua tingkat: pertama, untuk menyandikan urutan simbol yang mewakili formula, dan kedua, untuk menyandikan urutan formula yang mewakili bukti. Ini memungkinkan dia untuk menunjukkan korespondensi antara pernyataan tentang bilangan asli dan pernyataan tentang kemungkinan teorema tentang bilangan asli, pengamatan kunci dari buktinya.

6.        Tarski

Tarski dalam (Guerrier, 2008)dalam tulisannya yang berjudul “The concept of truth in languages of deductive sciences” menunjukkan bahwa tujuannya adalah menyusun definisi dari proposisi kebenaran yang memadai secara materi dan tepat secara formal. Proyek Tarski adalah menjembatani secara nyata antara sistem formal dan realita. Pada tahun 1944 dia mengemukakan kembali konsep kebenaran klasik milik Aristoteles dalam bahasa yang modern melalui definisi berikut: “‘the truth of a proposition lies in its agreement (or correspondence) with reality; or a proposition is true if it designates an existent state of things.’’ Kebenaran proposisi terletak pada kesepakatan (atau korespondensi) dengan realita, atau suatu proposisi bernilai benar jika ia membentuk status keberadaan sesuatu. Untuk mengelaborasi konstruksi rekursif dari kebenaran suatu proposisi, Tarski mengenalkan konsep yang lebih umum tentang ‘‘satisfaction of a propositional function (a predicate) by such or such objects, kesesuaian fungsi proposisi objek’’ kepada fakta bahwa ‘‘complex propositions are not aggregates of propositions, but obtained from propositional functions.

Proposisi kompleks tidak beragregasi, tetapi diperoleh dari fungsi proposisi’’ Definisi ini menegaskan fakta bahwa status kebenaran dari sebuah fungsi proposisi mesti berlaku di dunia realita. Hal ini memungkinkan bagi kita untuk mengonstruk kriteria kesesuaian suatu formula yang kompleks terhadap predikat kalkulus pada struktur manapun secara rekursif dengan menggunakan intepretasi terhadap tiap huruf pada formula. Sehingga dapat didefinisikan ungkapan tentang “model for a formula”, yang mengatur suatu struktur interpretasi dari suatu formula yang memenuhi setiap rangkaian objek yang relevan. Hal ini menjadi jalan bagi Tarski dalam mendefinisikan notion yang fundamental tentang “konsekuensi logis dalam sudut pandang semantik”: suatu formula G menyesuaikan dari suatu formula F secara logis  jika dan hanya jika setiap model dari F merupakan model bagi G.

Hal ini bermakna bahwa formula “ adalah benar untuk setiap intepretasi terhadap F dan G pada setiap struktur tak kosong. Contohnya, dalam konteks semantik, “Q(x)” merupakan konsekuensi logis dari “ Perhatikan bahwa ini merupakan ekstensi dari hasil korespondensi yang dihasilkan oleh Wittgenstein, dalam pemahaman bahwa “Q(x)” dan “ bukan merupakan variabel proposisi, tapi fungsi proposisi. Sehingga tidak mungkin untuk menggunakan tabel kebenaran secara langsung.    

Model pendekatan teoritik dikembangkan oleh Tarski dalam bukunya Introduction to logic and to the methodology of the deductive sciences. Diketahui suatu teori deduktif yang memungkinkan memahami suatu sistem aksiomatik sebagai bahasa formal dan mengintepretasikan kembali sistem dengan interpretasi yang lain. Interpretasi dimana suatu aksioma bernilai benar disebut dengan model sistem aksiomatik. Pendekatan ini (Beth, 1962) menjadikan tak berhingga banyaknya formula sebagai aksioma, yang diperoleh dari beberapa aksioma tertentu yang digunakan berulang-ulang pada aturan inferensial. Aksioma-aksioma tersebut dinamakan tesis. Beberapa karakter tesis yang mendasar antara lain,

(I)       

(II)      

(III)     

Dari tesis-tesis tersebut dikembangkan menggunakan skema inferensial dan modus Ponens sehingga diperoleh berbagai teorema. Misalnya akan dibuktikan bahwa  juga merupakan tesis. Dari karakter aksioma I maka dapat disusun implikasi berupa (1)  (. Sedangkan dari karakter aksioma II dapat disusun implikasi (2) . Dari (1) dan (2) dengan skema (iij) maka diperoleh (Hal tersebut memberikan beberapa hasil yang penting:

“Semua teorema dibuktikan dari suatu sistem aksiomatik yang valid untuk setiap interpretasi sistem”

Teorema tersebut menunjukkan hubungan antara semantik dan sintak sekaligus mengarahkan kita kepada metode yang penting dalam pembuktian bahwa suatu pernyataaan bukan merupakan konsekuensi logis dari teori aksioma. Dengan begitu, Tarski telah memberikan perbedaan yang jelas antara kebenaran dalam suatu interpretasi dan kebenaran sebagai konsekuensi logis dari suatu sistem aksiomatik. Dibandingkan dengan kedua metode sebelumnya, metode aksiomatik memiliki perbedaan yang cuku jelas. Beth (1962) menjelaskan bahwa pendekatan aksiomatik tidak melibatkan analisis keterkaitan antara himpunan K yang memuat premis-premis U dengan himpunan L yang memuat konklusi-konklusi V. Melainkan menetapkan status istimewa terhadap suatu kumpulan formula yang disebut tesis. Tesis ini identik dengan tautologi. Namun keterkaitan dua teori sebelumnya dengan teori aksiomatik akan ditunjukkan dalam teorema-teorema. Misal pada teorema 9 (Beth, 1962), Setiap tesis adalah identitas logis.

Dengan membangun tabel semantik yang cocok, kami pertama kali menunjukkan bahwa setiap aplikasi dari aksioma-schemata (I)-(III) adalah identitas logis. Kedua, akan dibuktikan bahwa jika kedua U dan  yang logis identitas, maka demikian juga V. Jadi misalkan bahwa di bawah valuasi tertentu w identitas, maka demikian juga V. Jadi misalkan di bawah valuasi tertentu w kami memiliki . Dengan U adalah logicalidentity, kita memiliki . Dengan aturan (S1), berikut bahwa w . Tapi ini bertentangan anggapan kami menurut yang  adalah identitas logis. Akhirnya, jika U menjadi tesis yang bebas. Maka harus ada batas tertentu untuk urutan formula (, yang merupakan bukti U sebagai tesis. Jika , atau U, bukan identitas logis, maka baik itu adalah satu-satunya rumus di urutan yang tidak identitas logis atau yang lain itu didahului oleh formula lain dalam urutan yang juga tidak identitas logis. Akan ada formula  pertama dalam urutan yang bukan merupakan identitas logis. Sekarang baik   adalah sebuah aplikasi dari salah satu skema aksioma (I) - (IIII) atau dapat juga ditemukan m dan n (l <m, n <j) sehingga   adalah    Namun, karena   bukan identitas logis, tidak dapat menjadi aplikasi skema aksioma dengan pengamatan pertama. Di sisi lain, karena  dan   mendahului , maka identitas logis. Tapi dengan kedua kami komentar, jika   adalah  adalah identitas logis, maka harus juga menjadi identitas logis. Hal berikut bahwa ada formula  seperti yang dijelaskan dapat ditemukan. Oleh karena itu , atau U, harus menjadi identitas logis.

7.        Alan Turing

            Masalah utama dalam menyempurnakan bukti adalah bahwa pada awalnya tampak bahwa untuk membangun pernyataan p yang setara dengan "p tidak dapat dibuktikan", p entah bagaimana harus mengandung referensi ke p, yang dapat dengan mudah menimbulkan sebuah kemunduran tanpa batas. Teknik cerdik Gödel adalah untuk menunjukkan bahwa pernyataan dapat dicocokkan dengan angka (sering disebut arithmetization of syntax) sedemikian rupa sehingga "membuktikan pernyataan" dapat diganti dengan "menguji apakah suatu angka memiliki properti yang diberikan". Ini memungkinkan formula referensial diri dibangun dengan cara yang menghindari setiap kemunduran definisi. Teknik yang sama kemudian digunakan oleh Alan Turing dalam karyanya di Entscheidungs problem.

            Secara sederhana, suatu metode dapat dirancang sehingga setiap formula atau pernyataan yang dapat diformulasikan dalam sistem mendapatkan angka unik, yang disebut nomor Gödel-nya, sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk secara mekanis mengonversi bolak-balik antara rumus dan Gödel angka. Jumlah yang terlibat mungkin memang sangat panjang (dalam hal jumlah digit), tetapi ini bukan penghalang; yang penting adalah bahwa angka-angka tersebut dapat dibangun. Contoh sederhana adalah cara di mana bahasa Inggris disimpan sebagai urutan angka di komputer menggunakan ASCII atau Unicode:

a)      Kata HELLO diwakili oleh 72-69-76-76-79 menggunakan desimal ASCII, yaitu angka 7269767679.

b)      Pernyataan logis x = y => y = x diwakili oleh 120-061-121-032-061-062-032-121-061-120 menggunakan ASCII oktal, yaitu nomor 120061121032061062032121061120.

            Pada prinsipnya, membuktikan suatu pernyataan benar atau salah dapat ditunjukkan setara dengan membuktikan bahwa angka yang cocok dengan pernyataan itu memiliki atau tidak memiliki properti yang diberikan. Karena sistem formal cukup kuat untuk mendukung penalaran tentang angka pada umumnya, ia dapat mendukung penalaran tentang angka yang mewakili formula dan pernyataan juga. Yang terpenting, karena sistem dapat mendukung penalaran tentang sifat-sifat angka, hasilnya setara dengan penalaran tentang kemantapan pernyataan setara mereka.

8.        Matematika Non Standard

Fakta dasar dalam teori model adalah bahwa setiap struktur matematika tanpa batas memiliki model non standar, yaitu struktur non-isomorfik yang memenuhi sifat dasar yang sama. Dengan kata lain, ada struktur yang berbeda tetapi setara, dalam arti bahwa mereka tidak dapat dibedakan melalui sifat-sifat dasar yang mereka puaskan.

ketika studi intensif model aritmatika tidak standar dimulai. "Penemuan" analisis tidak standar dapat dilakukan pada tahun 1960, ketika Abraham Robinson memiliki gagasan untuk menerapkan secara sistematis mesin model-teoretis tersebut untuk dianalisis. Dengan mempertimbangkan ekstensi yang tidak standar dari sistem bilangan real, ia mampu memberikan penggunaan dasar yang sangat terbatas pada angka yang sangat kecil, sehingga memberikan solusi untuk masalah yang sudah ada lebih dari seabad. Menurut beberapa penulis, pencapaian Robinson mungkin menjadi salah satu kemajuan utama di bidang matematika abad ini.

Adanya ekstensi yang tidak standar dari sistem bilangan real, yang disebut bilangan hiperreal, dapat tampak bertentangan, dalam arti mereka bertentangan dengan teorema karakterisasi terkenal untuk R. Misalnya, jika kita ingin sistem hyperreal menjadi bidang yang dipesan, kemudian, sebagai ekstensi R yang tepat, bidang tersebut tidak boleh berupa archimedean atau Dedekind-complete. Jadi, apa arti kesetaraan dari ∗R dan R yang dimaksudkan? Jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah inti dari analisis tidak standar. Dalam konteks logika matematika, gagasan properti elementer dapat diberikan definisi yang tepat. Yaitu, aproperty bersifat elementer jika dapat dirumuskan sebagai formula urutan pertama dalam bahasa tertentu. Secara kasar, rumus urutan pertama adalah ekspresi terbatas di mana kuantifikasi diizinkan hanya atas variabel yang berkisar elemen tetapi tidak lebih dari subset.

Dengan demikian, dalam bahasa yang biasa yang terdiri dari simbol untuk kecanduan, perkalian, elemen netral dan relasi keteraturan, sifat-sifat bidang yang dipesan adalah urutan pertama, sedangkan Dedekind-kelengkapan dan properti archimedean tidak. Perhatikan bahwa kelengkapan berbicara tentang himpunan bagian, dan properti archimedean membutuhkan rumus yang sangat panjang untuk dinyatakan: "∀x> 0 (x> 1∨x + x> 1∨x + x + x> 1. ...)" .2 Setelah bahasa telah ditentukan, prinsip transfer Leibnitz dapat diberikan rumusan yang ketat.

Setiap properti yang dapat dituliskan sebagai formula urutan pertama adalah benar untuk bilangan real R jika dan hanya jika itu benar untuk setiap sistem bilangan hiperreal ∗ R.

Strategi khas dalam analisis tidak standar adalah sebagai berikut. Asumsikan kita ingin membuktikan (atau menyanggah) beberapa dugaan P tentang bilangan real, atau lebih umum, tentang beberapa struktur matematika M. Memformalkan P sebagai rumus urutan pertama φ. Dapat terjadi bahwa lebih mudah untuk memutuskan P dalam beberapa model tidak standar ∗ M di mana alat tambahan mungkin tersedia (misalnya, sangat kecil), daripada dalam model standar M. Setelah properti P, seperti yang dinyatakan secara formal oleh rumus φ, telah terbukti (atau tidak terbukti) dalam ∗ M, dengan transferitis benar (atau salah) dalam struktur standar M juga.

Penggunaan model tidak standar untuk membuktikan teorema "standar", dapat dilihat dengan cara yang sama seperti, katakanlah, penggunaan bilangan kompleks C untuk membuktikan hasil tentang bilangan real. Jika seseorang hanya tertarik pada bilangan real, maka bilangan kompleks dapat dilihat sebagai alat belaka untuk melakukan pembuktian. Tentu saja, perbandingan di atas tidak boleh dipahami secara harfiah. Teknis yang terlibat dalam metode yang tidak standar agak berbeda karena mereka membutuhkan penjelasan dari logika matematika untuk sepenuhnya dibenarkan. Tapi tetap saja, ide dasarnya mirip. Metode tidak standar tidak menimbulkan stobe matematika tidak standar yang kontras dengan matematika standar. Sebaliknya, mereka menyediakan alat kuat baru yang dapat diterapkan di seluruh spektrum matematika, dan yang kekuatan dan potensinya mungkin masih jauh dari sepenuhnya dieksploitasi.

Sayangnya, masih ada beberapa perbedaan dalam komunitas matematika tentang penggunaan metode tidak standar. Alasan historis untuk ini adalah fakta bahwa sangat kecil digunakan secara tidak benar dalam perkembangan awal kalkulus. Saat ini, hambatan untuk difusi yang lebih luas dari metode tidak standar mungkin adalah kenyataan bahwa matematikawan sering tidak nyaman dengan logika matematika. Inilah sebabnya mengapa banyak upaya telah dilakukan untuk menemukan presentasi dasar ke dalam analisis tidak standar (yaitu presentasi yang tidak melibatkan gagasan teknis dari logika matematika). Dalam hal ini, lihat pendekatan yang diberikan oleh H.J Keisler yang ditujukan untuk rata-rata siswa kalkulus awal, dan yang baru-baru ini diberikan oleh C. W. Henson.

8.    Transformasi Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.

       I.            Translasi (pergeseran)

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu obyek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Jika translasi T = memetakan titik P(x, y) ke titik () maka = x + a, dan = y + b atau (x + a, y + b) dapat ditulis dalam bentuk :

T =  : P(x, y) (x + a, y + b)

Contoh :

Tentukan koordinat bayangan titik A (-2, 4) oleh translasi T =

Penyelesaian :

 = (-2 + 3,  4 + 6)

 = (1, 10)

    II.            Refleksi (pencerminan)

Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu.

a.              Refleksi titik terhadap sb x, sb y, titik pusat, garis y = x dan garis y = -x

1) P(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangannya adalah P₁(x, y)

2) P(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y, bayangannya adalah P₂(-x, y)

3) P(x, y) dicerminkan terhadap pusat (0, 0), bayangannya adalah P₃(-x, -y)

4) P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangannya adalah P₄(y, x)

5) P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = -x, bayangannya adalah P₅(-y, -x)

b.    Refleksi titik terhadap garis x = a dan y = b

Perhatikan gambar ! a)      P(x, y) dicerminkan terhadap garis x = a, bayangannya adalah P1(2a – x, y) b)      P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = b, bayangannya adalah P2(x, 2b – y) c)      P(x, y) dicerminkan terhadap titik (a, b), bayangannya adalah P3(2a – x, 2b – y)

 III.            Rotasi (Perputaran)

Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Rotasi arah positif bila rotasi berlawanan arah dengan putaran jarum jam. Rotasi arah negatif bila rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

a.       Rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) jika P(x, y) diputar sebesar  radian berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap pusat O dan diperoleh bayangan P(), maka :  = x cos  - y sin  = x sin  + y cos b.      Pusat (a, b) Titik P(x, y) menjadi ()  - a = (x – a) cos  - (y – b) sin  - b = (x – a) sin  + (y – b) cos

 IV.            Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi (perbesaran atau perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangunan yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala dilatasi.

Dilatasi yang berpusat di titik asal O dan di titik seberang P(x, y) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [0, k] dan [P, k].

a.       Dilatasi terhadap titik pusat (0, 0)

Jika  P (x, y)  didilatasi  terhadap  titik  pusat  O(0, 0)  dengan  faktor  skala  k  didapat  bayangan

P’() maka :           = kx                                      = ky

9.        Teori Kategori

Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lanepada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

Contoh teori kategori Misalkan kita mempunyai himpunan (yang lalu kita sebut dengan object beserta fungsi total di antar himpunan tersebut (yang lalu kita sebut morphism, maka properti kategori adalah sebagai berikut.

·         Tipe Fungsi. f: A -> B berarti fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B.

·         Komposisi. Kita bisa menggabungkan dua fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan gof.

·         Fungsi Identitas. Untuk setiap himpunan A, terdapat fungsi identitas di

A : A -> A

REFERENSI

Bahrum. (2013). Ontologi, Epistemologi Dan Aksiologi. Yayasan Pendidikan Ujung Pandang, 8, 35–45.

Bell, F. H. (1978). Teaching and Learning Mathematics. University of Pittburght.

Beth, E. W. (1962). Formal methods. Dordrecth: D. Reidel Publishing Company.

Fathani, Abdul H.2008. Matematika Hakikat & Logika. Malang: Ar-Ruzz Media

Jalaluddin dan Abdullah Idi, Filsafat Pendidikan, Jakarta: Gaya Media Pratama, 1998.

Guerrier. (2008). Truth versus validity in mathematical proof. ZDM Mathematics Education, 40(1), 373–384.

Kurt, G. (1931). Uber lormal unentscheidbare S ~ tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I ~ ). 38, 173–198.

Marion, G., & Lawson, D. (2008). An Introduction to Mathematical Modelling. Scotland: Bioinformatics and Statistics.

Marsigit. (2004). Sejarah dan filsafat matematika.

Marsigit. (2010). Modul filsafat ilmu. Universitas Negeri Yogyakarta.

Marsigit. (2012). Sejarah dan filsafat Matematika. Disampaikan Pada Workshop Guru SMK RSBI Yogyakarta.

Marsigit, Ilham R., & Mareta M. M.(2014). Filsafat matematika. Yogyakarta: UNY press

Muhammad Baqir Ash-Shadr, Falsafatuna terhadap Belbagai Aliran Filsafat Dunia,  (Cet.VII; Bandung: Mizan, 1999), h. 25.

Satria, N. (2009). Aritmatika, Bahasa Formal, Sistem Formal. Retrieved May 16, 2019, from https://ariaturns.wordpress.com/2009/05/09/teorema-tidak-lengkap-godel/

Simmons, G. F. (2007). Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics. Mathematical Association of America.

Sumarna, Cecep. 2008.  Filsafat Ilmu dari Hakikat Menuju Nilai. Bandung: CV. Mulia Press: gramedia  

Suriasumantri , Jujun S. 1978.  Pengantar Ilmu dalam Perspektif. Jakarta : Triedi, A. (2015). Kegunaan Notasi Leibniz. Retrieved from kompasiana website: https://www.kompasiana.com/agustriedi/56502c3ad693732d05e72f8d/kegunaan-notasi-leibniz